Cr茅ditos ECTS
Cr茅ditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias
Trabajo del Alumno/a ECTS: 99
Horas de Tutor铆as: 3
Clase Expositiva: 24
Clase Interactiva: 24
Total: 150
Lenguas de uso
Castellano, Gallego, Ingl茅s
Tipo:
Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos:
惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉
脕谤别补蝉:
Geometr铆a y Topolog铆a
Centro
Facultad de 惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉
Convocatoria:
Segundo semestre
Docencia:
Con docencia
惭补迟谤铆肠耻濒补:
Matriculable
| 1ro curso (Si)
El estudio de la topolog铆a de la recta real se inici贸 en la materia de "Introduci贸n al An谩lisis Matem谩tico" y, en referencia a la continuidad, se desarrolla en la materia "Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real". Ahora, en esta asignatura, se aborda el estudio de la topolog铆a no solamente de la recta real, sino tambi茅n de los espacios euclidianos de cualquier dimensi贸n. Adem谩s, se har谩 un tratamiento m谩s sistem谩tico de las cuestiones consideradas.
Los principales objetivos son:
鈥� Estudiar conceptos, m茅todos y propiedades m茅tricas y, fundamentalmente, topol贸gicas en R^n, partiendo de su estructura euclidiana.
鈥� Aplicar las t茅cnicas de convergencia de sucesiones al estudio de propiedades relacionadas con la topolog铆a. Estudiar la completitud.
鈥� Estudiar la continuidad de funciones en el 谩mbito de los espacios euclidianos. Identificar funciones continuas, o discontinuidades de funciones. Describir funciones geom茅tricamente. Dar ejemplos de funciones que ilustren propiedades diversas. Expresar anal铆ticamente transformaciones geom茅tricas sencillas.
鈥� Comprender los conceptos de conexidad y compacidad. En su expresi贸n m谩s sencilla, un resultado t铆pico dir谩 que toda funci贸n real continua con dominio un intervalo cerrado alcanza el m谩ximo, el m铆nimo y cualquier valor intermedio; se observar谩 que las 煤nicas propiedades necesarias del intervalo son la conexidad y la compacidad. Es una muestra de uno de los aspectos m谩s caracter铆sticos de la matem谩tica: como la soluci贸n de problemas, a veces de formulaci贸n simple, requiere a menudo de teor铆as muy abstractas.
Tema 1 Los espacios euclianos (4 horas expositivas)
1.1 Producto escalar y norma euclidiana
1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski
1.3 Distancia euclidiana. Propiedades; la desigualdad triangular
1.4 Bolas abiertas
1.5 Distancia entre conjuntos. Conjuntos acotados. Di谩metro
Tema 2 La topolog铆a del espacio euclidiano (4 horas expositivas)
2.1 Definici贸n de conjunto abierto
2.2 Propiedades caracter铆sticas de los conjuntos abiertos
2.3 Conjuntos cerrados
2.4 Espacios y subespacios. Abiertos relativos
Tema 3 Convergencia y completitud (4 horas expositivas)
3.1 Sucesiones. Sucesiones convergentes. Subsucesiones
3.2 Convergencia y topolog铆a
3.3 Sucesiones de Cauchy
3.4 Completitud del espacio euclidiano
Tema 4 Continuidad (8 horas expositivas)
4.1 Definici贸n de continuidad
4.2 Caracterizaciones globales de la continuidad
4.3 Continuidad secuencial
4.4 Funci贸n combinada
4.5 Homeomorfismos
4.6 Propiedades topol贸gicas
Tema 5 Conexi贸n (4 horas expositivas)
5.1 Conjuntos conexos
5.2 Conexi贸n y continuidad
5.3 Conjuntos conexos por caminos
Tema 6 Compacidad (4 horas expositivas)
6.1 Compacidad
6.2 Compacidad y continuidad
6.3 Caracterizaci贸n de los conjuntos compactos en el espacio euclidiano (Teorema de Heine-Borel)
Bibliograf铆a b谩sica:
Curso en el campus virtual, tambi茅n accesible en
MASA V脕ZQUEZ, X.M. Curso de topolox铆a: dos n煤meros reais ao Grupo de Poincar茅. 奇趣腾讯分分彩 Editora. Manuais, Universidade de Santiago de Compostela, 2020. (Edici贸n revisada y actualizada del manual de 1999)
MASA V脕ZQUEZ, X.M. Topolox铆a xeral. Introducci贸n aos espazos euclidianos, m茅tricos e topol贸xicos. Manuais universitarios, Universidade de Santiago de Compostela, 1999.
Bibliograf铆a complementaria:
BARTLE, R.G. Introducci贸n al An谩lisis Matem谩tico. Ed. Limusa. M茅xico, 1980.
BUSKES, G. AND VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996.
CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topolog铆a. Ed. Alhambra, 1975.
SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.
En este curso se pretende contribuir a mejorar las competencias b谩sicas, generales y transversales del Grado de 惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉. Adem谩s se trabajar谩n las siguientes competencias ESPEC脥FICAS del grado:
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matem谩tico.
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas cl谩sicos en distintas 谩reas de la Matem谩tica.
CE3 - Idear demostraciones de resultados matem谩ticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
CE5 - Asimilar la definici贸n de un nuevo objeto matem谩tico, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distingui茅ndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
El trabajo en el aula con un grupo grande consiste, fundamentalmente, en docencia impartida por el profesor. De ordinario, se dedicar谩 una parte del tiempo a la exposici贸n de cuestiones te贸ricas, y otra parte a la ilustraci贸n con ejemplos y al planteamiento de problemas o ejercicios. Se procurar谩 la implicaci贸n de todo el alumnado en la discusi贸n de las cuestiones suscitadas.
En la docencia presencial en grupos reducidos (de seminario) se propondr谩n y resolver谩n cuestiones te贸rico-pr谩cticas y ejercicios. En la docencia en grupos m谩s reducidos (de laboratorio) se dar谩 preferencia a la participaci贸n de los estudiantes y a aclarar dudas sobre teor铆a, problemas y ejercicios.
Las tutor铆as en grupos muy reducidos se dedicar谩n, de forma individual o en grupos, a resolver las dudas y dificultades particulares que vayan apareciendo, y al seguimiento individualizado de cada estudiante.
Habr谩 un curso virtual, donde aparecen detallados todos los aspectos te贸ricos de la materia y ejercicios resueltos. Peri贸dicamente, se entregar谩n al alumnado boletines de ejercicios y cuestiones a trav茅s del curso virtual.
La docencia expositiva y la interactiva ser谩n de car谩cter presencial. Las tutor铆as pueden ser presenciales o realizarse de modo virtual. La comunicaci贸n con el alumnado, adem谩s de presencial, tambi茅n se podr谩 hacer a trav茅s de los foros del curso virtual y del correo electr贸nico.
Habr谩 un doble m茅todo de evaluaci贸n: la evaluaci贸n continua, basada en las pruebas realizadas en clase y la participaci贸n, y la evaluaci贸n puntual, mediante una prueba final escrita, el examen, fijado en el calendario de la facultad. La calificaci贸n final se obtendr谩 por la siguiente f贸rmula, donde AC indica la calificaci贸n de la evaluaci贸n continua y EF la del examen final:
m谩x{ 0,3 AC + 0,7 EF, EF }.
La evaluaci贸n continua consistir谩 en una prueba que se realizar谩 en clase en la que cada estudiante deber谩 resolver el ejercicio que se le indique; la participaci贸n en las clases expositivas e interactivas, as铆 como en las tutor铆as, podr谩 ser valorada con hasta + 1 punto. El examen final tendr谩 una parte de teor铆a, que puede abarcar la definici贸n de conceptos, el enunciado de resultados o su demostraci贸n total o parcial. La otra parte consistir谩 en la resoluci贸n de ejercicios, que ser谩n an谩logos a los propuestos a lo largo del curso. Cada una de las partes (teor铆a-ejercicios) tendr谩 un peso de entre un 40% y un 60% del total.
La calificaci贸n obtenida en la evaluaci贸n continua ser谩 aplicable en cada una de las dos oportunidades de un mismo curso acad茅mico (segundo semestre y julio).
Si el/la alumno/a no se presenta al examen fijado por la facultad en ninguna de las dos oportunidades tendr谩 la calificaci贸n de 鈥淣o presentado鈥�, a煤n cuando haya participado en la evaluaci贸n continua.
La evaluaci贸n ser谩 equivalente en ambos grupos, aunque las pruebas no ser谩n necesariamente las mismas.
Adem谩s de las competencias espec铆ficas, se evaluar谩n las competencias generales CG1 (Conocer los conceptos, m茅todos y resultados m谩s importantes), CG3 (Aplicar tanto los conocimientos te贸ricos-pr谩cticos adquiridos como la capacidad de an谩lisis y de abstracci贸n en la definici贸n y planteamiento de problemas y en la b煤squeda de sus soluciones) y CG4 (Comunicar 鈥損or escrito--conocimientos, procedimientos, resultados e ideas).
Clases expositivas: 28 horas
Clases de seminario: 14 horas
Clases de laboratorio: 14 horas
Tutor铆as en grupos muy reducidos: 2 horas
Actividades de evaluaci贸n: 5 horas
Tiempo de trabajo personal no presecial: 87 horas
Total: 150 horas
En el curso se dedica mucho tiempo a la resoluci贸n de ejercicios. Obviamente, se considera un aspecto fundamental en el aprendizaje de la materia. Esto no debe conducir a pensar que la teor铆a tiene menos importancia: bien al contrario, la teor铆a es la piedra angular de la formaci贸n. Habr谩 que manejar cierto n煤mero de definiciones y resultados, que se tendr谩n que asimilar en un per铆odo breve de tiempo. Las demostraciones de los resultados ayudan a comprenderlos mejor y permiten familiarizarse con las t茅cnicas m谩s importantes; deben constituir uno de los componentes fundamentales del estudio de la materia. El otro, ciertamente, ser谩 el empe帽o en la resoluci贸n de los ejercicios.
Para el caso de realizaci贸n fraudulenta de ejercicios o pruebas ser谩 de aplicaci贸n lo recogido en la "Normativa de evaluaci贸n del rendimiento acad茅mico de los estudiantes y revisi贸n de calificaciones".
Antonio M. G贸mez Tato
- Departamento
- 惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉
- 脕谤别补
- Geometr铆a y Topolog铆a
- 罢别濒茅蹿辞苍辞
- 881813151
- Correo electr贸nico
- antonio.gomez.tato [at] usc.es
- 颁补迟别驳辞谤铆补
- Profesor/a: Catedr谩tico/a de Universidad
Victor Sanmartin Lopez
Coordinador/a- Departamento
- 惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉
- 脕谤别补
- Geometr铆a y Topolog铆a
- Correo electr贸nico
- victor.sanmartin [at] usc.es
- 颁补迟别驳辞谤铆补
- PROFESOR/A PERMANENTE LABORAL
Mouhcine Yousfi Khoumsi
- Departamento
- 惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉
- 脕谤别补
- Geometr铆a y Topolog铆a
- Correo electr贸nico
- yousfi.mouhcine [at] usc.es
- 颁补迟别驳辞谤铆补
- Profesor/a: Profesor Interino/a sustituci贸n IT y otros
Diego Mojon Alvarez
- Departamento
- 惭补迟别尘谩迟颈肠补蝉
- 脕谤别补
- Geometr铆a y Topolog铆a
- Correo electr贸nico
- diego.mojon.alvarez [at] usc.es
- 颁补迟别驳辞谤铆补
- Predoutoral Ministerio
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_04 | Castellano | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_03 | Castellano | Aula 09 |
| 惭颈茅谤肠辞濒别蝉 | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIS_02 | Castellano | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIS_01 | Castellano | Aula 08 |
| Jueves | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano | Aula 09 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_03 | Castellano | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 02 |
| Viernes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula 07 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 07 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 02 |
| 03.06.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 09.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |