Cr茅ditos ECTS
Cr茅ditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias
Traballo do Alumno/a ECTS: 99
Horas de Titor铆as: 3
Clase Expositiva: 24
Clase Interactiva: 24
Total: 150
Linguas de uso
颁补蝉迟别濒谩苍, Galego
Tipo:
Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos:
Estat铆stica, An谩lise Matem谩tica e Optimizaci贸n
脕谤别补蝉:
An谩lise Matem谩tica
Centro
Facultade de Matem谩ticas
Convocatoria:
Segundo semestre
Docencia:
Con docencia
惭补迟谤铆肠耻濒补:
Matriculable
Comprender, co帽ecer e manexar os principais conceptos, resultados e m茅todos relativos aos contidos do programa, que te帽en unha importancia fundamental na An谩lise Matem谩tica e, m谩is inmediatamente para o alumno, nalgunhas materias do Grao en Matem谩ticas, como, por exemplo, as relativas 谩 An谩lise Complexa, An谩lise Funcional ou Integraci贸n de Lebesgue e Series de Fourier.
Os mencionados contidos p贸dense englobar en dous grandes bloques. Nun destes bloques, introd煤cense as sucesi贸ns e as series de funci贸ns, para as que se estudar谩n distintas formas de converxencia. No outro bloque, ampliaranse os co帽ecementos (adquiridos no primeiro curso) relativos 谩 integraci贸n de funci贸ns reais, presentando os conceptos e t茅cnicas b谩sicas das integrais impropias de funci贸ns reais dunha variable real e das integrais m煤ltiples no sentido de Riemann.
A consecuci贸n dos obxectivos pasar谩 por co帽ecer os contidos te贸ricos da materia e ser quen de relacionalos e saber aplicalos na pr谩ctica en problemas concretos de diversos tipos, ocasionalmente, se cadra, coa axuda do ordenador. Cando se requira o uso dalg煤n programa inform谩tico, farase uso do programa MAPLE (a nivel de usuario).
I) INTEGRAIS IMPROPIAS DE FUNCI脫NS DUNHA VARIABLE REAL (6 horas expositivas)
1.1 Integrais impropias
Integraci贸n en intervalos non compactos. Integrais converxentes e diverxentes. Propiedades da integral impropia. Condici贸n de Cauchy para a converxencia dunha integral.
1.2 Criterios de converxencia
Caracterizaci贸n da converxencia de integrais de funci贸ns non negativas. Criterios de comparaci贸n, comparaci贸n por cociente e comparaci贸n por paso ao l铆mite. Estudo dalgunhas integrais de referencia. Converxencia condicional e converxencia absoluta de integrais. Criterio de Dirichlet.
1.3 Integrais impropias e Series num茅ricas.
II) SUCESI脫NS E SERIES FUNCIONAIS (12 horas expositivas)
2.1 Sucesi贸ns de funci贸ns
Converxencia puntual e converxencia uniforme. Condici贸n de Cauchy para a converxencia uniforme. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da funci贸n l铆mite.
2.2 Series de funci贸ns
Converxencia puntual, absoluta e uniforme dunha serie de funci贸ns. Condici贸n de Cauchy para a converxencia uniforme dunha serie. Criterio maiorante de Weierstrass. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da funci贸n suma.
2.3 Series de potencias
Raio de converxencia. F贸rmula de Cauchy-Hadamard. Converxencia uniforme. Propiedades de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da suma. Series de Taylor. Funci贸ns anal铆ticas.
III) INTEGRAL M脷LTIPLE DE RIEMANN (10 horas expositivas)
3.1 Integral de Riemann en rect谩ngulos compactos de Rn
Partici贸ns dun rect谩ngulo. Sumas de Riemann. Funci贸ns R-integrables en rect谩ngulos compactos e integral de Riemann. Sumas superiores e inferiores. Integrais inferior e superior. Formulaci贸ns equivalentes do concepto de funci贸n integrable no sentido de Riemann. Propiedades da integral.
3.2 Funci贸ns integrables no sentido de Riemann en rect谩ngulos compactos
Conxuntos de contido nulo e de medida nula. Caracterizaci贸n de Lebesgue da integrabilidade no sentido de Riemann. O Teorema de Fubini en rect谩ngulos
3.3 Integraci贸n en conxuntos medibles no sentido de Jordan
Conxuntos J-medibles. Integraci贸n en conxuntos J-medibles. Funci贸ns R-Integrables en conxuntos J-medibles. Propiedades da integral de Riemann. O teorema de Fubini en conxuntos J-medibles
3.4 O teorema de cambio de variable. Alg煤ns cambios de variable especiais.
BIBLIOGRAF脥A COMPLEMENTARIA
T. M. Apostol: "An谩lisis Matem谩tico". Ed. Revert茅. 1977.
T. M. Apostol: "Calculus, volumen 2". Ed. Revert茅. 1973.
R. G. Bartle, D. R. Sherbert: "Introducci贸n al An谩lisis Matem谩tico de una variable". Ed. Limusa.
R. G. Bartle: "Introducci贸n al An谩lisis Matem谩tico". Ed. Limusa.
F. Bombal, L .R. Mar铆n, G.Vera: "Problemas de An谩lisis Matem谩tico. Vol. 3: C谩lculo integral". Ed. AC.
J. de Burgos: "C谩lculo infinitesimal de una variable". Ed. McGraw-Hill.
J. de Burgos: "C谩lculo infinitesimal de varias variables". Ed. McGraw-Hill.
F. del Castillo: "An谩lisis Matem谩tico II". Ed. Alhambra. 1980.
J.A. Fern谩ndez Vi帽a: "An谩lisis Matem谩tico III, Integraci贸n y C谩lculo exterior". Ed. Tecnos 1992.
J.A. Fern谩ndez Vi帽a, Eva S谩nchez Ma帽es: "Ejercicios y Complementos de An谩lisis Matematico III". Ed. Tecnos, 1994.
M. Spivak: "C谩lculo en Variedades". Ed. Revert茅. 1988.
Ademais das competencias b谩sicas, o desenvolvemento da materia contribuir谩 a acadar, en diferentes medidas, as competencias recollidas na Memoria do T铆tulo de Grao en Matem谩ticas da Universidade de Santiago de Compostela (奇趣腾讯分分彩) (dispo帽ible na web da Facultade). A saber: CG1, CG2, CG3, CG4 e CG5; CT1, CT2, CT3 e CT5; CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6 e CE9.
Estas competencias acadaranse realizando, entre outras, actividades como as seguintes:
鈥� An谩lise de sucesi贸ns e series funcionais, distinguindo as noci贸ns de converxencia puntual e uniforme, mostrando baixo que condici贸ns o l铆mite (a suma) dunha sucesi贸n (serie) funcional herda as propiedades de regularidade dos termos da sucesi贸n (serie) funcional correspondente.
鈥� Estudo do car谩cter converxente ou diverxente de integrais impropias e, cando sexa posible, c谩lculo do seu valor.
鈥� Construci贸n da integral de Riemann de funci贸ns de varias variables en conxuntos medibles no sentido de Jordan.
鈥� Estudo do car谩cter integrable no sentido de Riemann de funci贸ns de varias variables en conxuntos medibles no sentido de Jordan.
鈥� C谩lculo de integrais m煤ltiples en conxuntos medibles no sentido de Jordan, empregando o teorema de Fubini, en distintos ordenamentos das variables, e o teorema de cambio de variable con algunhas das transformaci贸ns m谩is habituais no plano e no espazo.
鈥� Emprego do programa MAPLE como apoio para a realizaci贸n de actividades relacionadas cos contidos da materia, favorecendo entre outras cousas, a comprensi贸n conceptual, o descubrimento e o contraste de resultados propios da materia.
De forma xen茅rica, empregarase o curso virtual como mecanismo para achegar 贸 alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (apuntamentos, v铆deos explicativos, documentos, cartafoles de traballo, etc.).
Os contidos da materia son susceptibles de seren desenvolvidos en diferentes ordes; a orde exposta no programa seguirase con flexibilidade durante o curso, segundo as diversas circunstancias o aconsellen, nas horas presenciais destinadas pola Facultade a estes efectos.
Na medida das posibilidades, o desenvolvemento da materia tender谩 a potenciar tanto a propia aprendizaxe do alumnado coma a avaliaci贸n continuada, mediante diversas propostas de traballo (de car谩cter voluntario) 贸 longo do cuadrimestre. Asemade, procurarase fomentar a participaci贸n do alumnado nas distintas sesi贸ns.
Nas clases co ordenador utilizarase o programa MAPLE como ferramenta de traballo.
Para facilitar a aprendizaxe, elaboraranse materiais did谩cticos (en galego) de diverso tipo: apuntamentos sobre os contidos do curso; v铆deos explicativos; follas de traballo de Maple con utilidades dese帽adas e preparadas para que o alumnado poida experimentar con alg煤ns dos conceptos m谩is relevantes da materia e varios outros, que en ning煤n caso pretenden substitu铆r o uso dos libros. Estes materiais estar谩n a disposici贸n do alumnado no Curso Virtual da materia.
No desenvolvemento da materia, intentaremos favorecer, en gran medida, a avaliaci贸n continuada (que ter谩 car谩cter presencial) para aquelas persoas que a desexen, de xeito que, sendo habitualmente asistentes, participativas e traballadoras, ter谩n a oportunidade de acadar unha porcentaxe da s煤a cualificaci贸n final mediante as distintas actividades (voluntarias) que te帽an realizado (individualmente ou en grupo, nas aulas ou f贸ra delas, segundo proceda) e, de ser o caso, entregado ou exposto nos prazos oportunos.
Nesta modalidade de avaliaci贸n (que chamaremos Modalidade 1 e presup贸n a presenza activa nas aulas e a realizaci贸n de, cando menos, o 80% das actividades que se propo帽an 贸 longo do curso) o exame final (que ser谩 presencial) consid茅rase coma unha actividade m谩is, cuxa realizaci贸n ser谩 imprescindible para que o alumnado poida ser cualificado. Estas actividades servir谩n para avaliar tanto os co帽ecementos coma as competencias xerais, espec铆ficas e transversais acadadas polo alumnado.
A cualificaci贸n final correspondente obterase respectando as indicaci贸ns da Memoria de Grao. En todo caso, nas condici贸ns m谩is favorables a porcentaxe da cualificaci贸n correspondente ao traballo do alumnado durante o curso (exclu铆da a proba final), poder谩 chegar a acadar o 25% da cualificaci贸n final m谩xima (CF), a trav茅s dunha f贸rmula como a seguinte, onde E representa a cualificaci贸n do exame final e T 茅 a cualificaci贸n obtida polas restantes actividades realizadas no curso:
CF = E + min{T/4, 10 - E}. (Tanto E como T poden tomar valores entre cero e dez).
Para tratar de respectar a autonom铆a e o ritmo de traballo do alumnado, ofrecerase unha segunda modalidade de avaliaci贸n (谩 que denominaremos Modalidade 2), consistente na realizaci贸n de, polo menos, unha proba intermedia con previo aviso. Neste caso, a cualificaci贸n final obterase coa f贸rmula CF=m谩x{E, 0鈥�7E+0鈥�3PI}, onde PI designa a cualificaci贸n media das probas intermedias realizadas que, o mesmo que E, tomar谩 valores entre cero e dez
O mesmo que na Modalidade 1, ser谩 imprescindible a realizaci贸n do exame final para ser cualificado nesta modalidade da avaliaci贸n.
脫 comezo do cuadrimestre, o alumnado ter谩 a oportunidade de elixir a modalidade de avaliaci贸n que desexa, mediante unha escolla que realizar谩 a trav茅s do Curso Virtual, nos plazos que se fixen para ese fin. De non realizar escolla nos prazos oportunos, entenderase que se opta pola Modalidade 2.
Para os alumnos do grupo expositivo CLE02 soamente estar谩 accesible a modalidade de avaliaci贸n 2, consistente na realizaci贸n de d煤as probas intermedias con previo aviso. Gar谩ntese a coordinaci贸n e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.
Non obstante, no exame final calquera estudante ter谩 a posibilidade de acadar a m谩xima cualificaci贸n num茅rica, te帽a ou non realizado as actividades ou a(s) proba(s) intermedia(s) durante o curso. Recibir谩n a cualificaci贸n de Non Presentado aqueles estudantes que non realicen o exame final.
O sistema de avaliaci贸n ser谩 o mesmo nas d煤as oportunidades. En cada caso, o exame final poder谩 ser distinto para os grupos expositivos. Gar谩ntese a coordinaci贸n e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.
150 horas: 58 horas de clases e 92 horas non presenciais.
Para estudar esta materia 茅 importante ter un bo co帽ecemento dos contidos das seguintes: 鈥淚ntroduci贸n 谩 An谩lise Matem谩tica鈥�; 鈥淐ontinuidade e Derivabilidade de funci贸ns dunha variable real鈥�; 鈥淚ntegraci贸n de funci贸ns dunha variable real鈥�; 鈥淒iferenciaci贸n de funci贸ns de varias variables reais鈥�.
Por outra parte, recom茅ndase estudar con regularidade, levando a materia 贸 d铆a, e realizar todas as actividades que se propo帽an nas aulas (presenciais ou virtuais). Tam茅n 茅 moi importante consultar todas as d煤bidas que vaian xurdindo durante o estudo da materia.
Rosa M陋 Trinchet Soria
Coordinador/a- Departamento
- Estat铆stica, An谩lise Matem谩tica e Optimizaci贸n
- 脕谤别补
- An谩lise Matem谩tica
- 罢别濒茅蹿辞苍辞
- 881813205
- Correo electr贸nico
- rosam.trinchet [at] usc.es
- 颁补迟别驳辞谤铆补
- Profesor/a: Titular de Universidade
Jorge Losada Rodriguez
- Departamento
- Estat铆stica, An谩lise Matem谩tica e Optimizaci贸n
- 脕谤别补
- An谩lise Matem谩tica
- 罢别濒茅蹿辞苍辞
- 881813215
- Correo electr贸nico
- jorge.losada.rodriguez [at] usc.es
- 颁补迟别驳辞谤铆补
- PROFESOR/A PERMANENTE LABORAL
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 16:00-17:00 | Grupo /CLE_02 | 颁补蝉迟别濒谩苍 | Aula 03 |
| 19:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Galego | Aula 02 |
| 惭茅谤肠辞谤别蝉 | |||
| 15:00-16:00 | Grupo /CLIL_05 | 颁补蝉迟别濒谩苍 | Aula de inform谩tica 3 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIS_01 | Galego | Aula 02 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIL_06 | 颁补蝉迟别濒谩苍 | Aula de inform谩tica 3 |
| 17:00-18:00 | Grupo /CLIS_02 | Galego | Aula 03 |
| 17:00-18:00 | Grupo /CLIL_04 | 颁补蝉迟别濒谩苍 | Aula de inform谩tica 3 |
| Xoves | |||
| 15:00-16:00 | Grupo /CLIS_04 | 颁补蝉迟别濒谩苍 | Aula 09 |
| 15:00-16:00 | Grupo /CLIL_03 | Galego | Aula de inform谩tica 3 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIS_03 | 颁补蝉迟别濒谩苍 | Aula 08 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIL_01 | Galego | Aula de inform谩tica 3 |
| 17:00-18:00 | Grupo /CLIL_02 | Galego | Aula de inform谩tica 4 |
| 20.05.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 10.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |